CONE

(Unijui-RS) Um líquido que está num recipiente em forma de cone será despejado em outro recipiente que possui forma cilíndrica.

cone

cilindro

Se o raio da base dos dois recipientes for 25 cm e a altura dos dois for 1m, que altura atingirá o líquido no cilindro?

(A) 1/3 m

(B) 33 cm

(C) 66 cm

(D) 55 cm

(E) p / 3 m

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PRISMA

Quantos litros de água são necessários para encher completamente uma caixa d'água, com formato de um paralelepídedo retângulo (prisma reto quadrangular), cujas as dimensões (internas) são: 0,90 m de comprimento, 0,70 m de largura e 0,80 m de altura?

O volume V do prisma é o produto da área da base Ab pela altura h. Ab = 0,90 × 0,70 = 0,63 m2 . Como h = 0,80, então V = 0,63 × 0,80 = 0,504 m3 . Logo: V = 0,504 × 1000 = 504 litros.

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pirâmides e prisma

Prismas

 

Ø                  Um prisma é um poliedro limitado por dois polígonos e paralelos (as bases) e vários paralelogramos (as faces laterais).

Ø                  A altura do prisma é a distância entre as bases.

Ø                  Se todas as faces laterais são rectângulos, elas serão perpendiculares às bases e então o prisma chama-se prisma recto.

Ø                  Se as faces laterais não são perpendiculares às bases, chama-se prisma oblíquo.

Ø                  Um prisma é regular quando tem um prisma recto que cujas bases são polígonos regulares.

Ø                  As  arestas laterais de um prisma são segmentos iguais e paralelos entre si. Nos prismas rectos são prependiculares às bases.

 

 

Classificação dos prismas segundo o polígono das bases

 

Conforme os polígonos das bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc, o prisma chama-se triangular, quadrangular, pentagonal, etc.

Os prismas rectos cujas bases são polígonos regulares chamam-se prismas regulares.

Quer em objectos de uso corrente, quer na Natureza, encontramos com frequência formas prismáticas.

 

 

Área do prisma

 

Área lateral =  Perímetro da base x altura Área total = Área lateral +2 x Área da base

 

 

 
 

Volume do prisma

 

O volume de um prisma recto ou oblíquo, é:

 
 

Volume do prisma = Área da base x altura

 
Recordamos que a  altura de um prisma é a distância entre as duas bases. Se o prisma é recto, a altura coincide com o comprimento das arestas laterais.
 
 
 

Planificação de prismas

 

Pirâmides

 

Ø                  Uma pirâmide é um poliedro que tem por base um polígono qualquer e por faces laterais triângulos com um vértice comum, que se                  chama vértice da piramide.

Ø                  A altura da pirâmide é a distância do vértice ao plano da base.

Ø                  Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e o vértice projecta-se sobre o centro desse polígono.

Ø                  Uma pirâmide é oblíqua quando a pojecção do vértice não coincide com o cento do polígono da base.

Ø                  Uma pirâmide é recta quando o vértice tem a sua projecção coincidente com o centro da base.

Ø                  Numa pirâmide regular as arestas laterais são todas iguais e as faces são triângulos isósceles iguais. As alturas desses triângulos                  chamam-se apótemas da pirâmide.

Ø                  O apótema de uma pirâmide regular é a hipotenusa de um triângulo rectangulo cujos catetos são a altura da pirâmide e o apótema do                  polígono da base.

Ø                  As pirâmides chamam-se triangulares, quadrangulares, pentagonais,... consoante o polígono da base seja um triângulo, um                  quadrilátero, um pentagono,...

 

Podemos observar formas piramidais em obejectos reais, em constuções...

As pirâmides do Egipto construidas muitos séculos antes da nossa era como sepulcro dos faraós, são quadrangula e as bases estão orientadas segundo os              pontos cardeais.

 

 

 

Área da pirâmide

 

A área lateral de uma pirâmide é a soma de n triâgulos iguais :

 

 

Área lateral = n x 1  la = 1 (nl) x a = Perímetro da base x a                                      2          2                                  2

 

 

Como a base é um polígono regular, a sua área é     Perímetro da base x a’

                                                                                                             2

onde a’ é o apótema da base.

 

 

Área total=área lateral+área da base=Perímetro base x a+Perímetro base x a'                                                             2                             2

      

 

 

 Volume da pirâmide

 

Temos um prisma e uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura.

Vamos comparar os seus volumes.

 

 

 

Se enchermos de água e vertermos dentro do prisma, ficará cheia uma terça parte deste. Quer dizer, são necessárias três pirâmides para completar o volume do prisma

 

Volume da pirâmide =  1 Área da base x altura                                              3

 

 

Planificação de pirâmides

 

Download do trabalho

Fábula matemática

"Três amigoss almoçaram num restaurante e cada um entregou ao empregado uma nota de 10 euros, perfazendo um total de 30, para pagar a conta. O empregado entregou o dinheiro ao caixa, que devolveu 5, pois a conta era de 25. Como os clientes não sabiam o valor da conta, o empregado resolveu enganá-los. Guardou 2 euros e entregou 1 de troco a cada cliente. Assim, cada cliente pagou 9, num total de 3 x 9 = 27, que somados aos 2 que ficaram com o empregado dão um total de 29. Como explicar o misterioso desaparecimento de 1 euro?"

Enigma da lua - resposta.

Prova-se que os triângulos [DEC] e [EAC] são semelhantes. Da proporcionalidade entre as medidas dos lados dos triângulos conclui-se que:
(r-5)(r-5)=r(r-9).
Assim r = 25 e as medidas dos diâmetros são 50 e 41 polegadas.

E o professor, como fica?

O professor que se formou em um tipo de matemática e depois não teve oportunidade de se aperfeiçoar, discutir visões metodológicas distintas, reproduz com seus alunos o que aprendeu porque acredita que deva ser daquele jeito. Há uma geração de professores sem referencial para refletir, que não acredita que poderia ser de outro modo. Ele aprendeu divisão de polinômios na sétima série, e acha que deve ensinar polinômios na sétima série. Muitas vezes não sabe que existem investigações sérias sobre desenvolvimento do pensamento algébrico, que mostram que certas operações com polinômios são inadequados nessa fase, precoces etc. Faz falta o conhecimento da história do currículo para compreender que as mudanças são necessárias. É preciso conhecer os livros antigos de matemática, acompanhar as mudanças para poder fazer uma crítica daquilo que vamos chamar de ensino tradicional. Trata-se de uma prática que tem características muito específicas muitas vezes inadequadas para a formação do indivíduo de hoje.

A beleza da matemática

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Brilhante, não é?

E que tal esta simetria:

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Matemática

 

Momentos

Cheguei ao quadro e peguei no giz
Do nosso amor fiz uma equação.
Andei depois às voltas com o X,
Do teu desconhecido coração.

Desejava somente conhecer
O valor da incógnita querida,
P’ra que então pudesse resolver
O problema maior da minha vida.

Da fórmula geral do nosso afecto,
Comecei a fazer deduções…
E – podes crer – meu fito predilecto,
Era igualar as nossas afeições.

Queria reduzir à unidade
As nossas almas, porque os meus intentos,
Eram apenas pôr em igualdade
As expressões dos nossos sentimentos.

Mas, ao chegar às deduções finais,
Eu pude ver então, nesse comenos
Que o meu afecto tinha o sinal +
E o teu, formosa ingrata, o sinal -.


Júlio Dias Nogueira (1939)

matemática desafia os estudantes

A matemática sempre foi o grande bicho papão de boa parte dos estudantes. Tanto que no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), é justamente nesta disciplina que os candidatos tem um desempenho abaixo das demais matérias que fazem integram o caderno de provas.

Dificuldade começa nos primeiros anos escolares | Foto: Reprodução internet

Muitos especialistas  se surpreendem com o resultado, pois consideram os textos de Matemática mais simples e objetivos em comparação as demais matérias. Para o professor André Junger, do curso Pré-militar Virtual, a explicação está na forma como ela é ensinada.
"Essa dificuldade já começa nos primeiros anos escolares, quando os alunos não conseguem ver beleza e nem aplicabilidade na matemática. Isso acontece porque os professores se preocupam em ensinar só a teoria, dissociada da parte recreativa e curiosa da disciplina. Se o aluno não consegue visualizar a ligação com a prática, do que é ensinado, ele perde totalmente o interesse", explica o educador.
Segundo Junger, caberia a escola incentivar o professor a abandonar o método  tradicional. " O aluno acaba desempenhando um papel quase sempre passivo. A escola deve procurar estabelecer um diálogo com os alunos, estimulando a imaginação, de modo a conduzi-los à redescoberta", destaca.
 Matheus Rodrigues, 16 anos, aluno de uma escola particular na Zona Sul do Rio, assume que seu desempenho nesta disciplina é apenas razoável. A saída encontrada por seus pais, para evitar a reprovação, foi recorrer a uma explicadora.
"Desde pequeno a Matemática foi minha maior inimiga na escola. Posso passar horas estudando e no final, aprendo o suficiente para não tirar nota baixa. Confesso que estou preocupado quando chegar a hora de enfrentar o Enem, pois espero ter problemas nesta matéria", afirma.
Se para muitos estudantes a Matemática é um fantasma, ela não assusta Cristina Moreira, 17 anos. "Não posso dizer que seja a minha matéria preferida na escola, gosto mais de História e Geografia, mas consigo tirar boas notas. Claro que tenho que dedicar mais tempo do que destino as outras matérias. Talvez não tenha tanta dificuldade, como acontece com vários colegas de sala, porque tive professores que me ajudaram bastante", revela.
Contas
Faltando pouco mais de 20 dias para as provas do Enem, a maioria dos estudantes começa a intensificar o estudo, tentando ter um desempenho, pelo menos razoável, no exame. Segundo André Junger, este não é o melhor método.
"O ideal não é estudar faltando cerca de um mês para o exame, porém com a falta de tempo, a saída é a resolução das questões de provas anteriores. O aluno deve investir mais na interpretação das questões, bem como o domínio de desenhos geométricos", orienta o professor.

passeios pela matemática

Embora invisível a Matemática ocupa um papel cada vez mais significativo no nosso dia-a-dia.

Se não houvesse Matemática não existiriam...

• edifícios
• pontes
• linhas eléctricas
• cabos de telefone
• aviões
• computadores
• microondas
• automóveis
• pacemakers
• …

Com a Matemática é possível explicar diversos fenómenos do dia-a-dia.

Fenómeno	Explicação matemática
Como é que um avião se mantém no ar sem algo a suportá-lo?	Equações descobertas por Daniel Bernoulli no século XVIII
O que faz com que uma maçã caia de uma árvore na terra? O que mantém a Terra a girar em torno do Sol?	Equações do movimento e da mecânica descobertas por Newton no século XVII
Como é que as imagens e sons de um jogo de futebol aparecem numa TV em qualquer parte do mundo?	Através da radiação electromagnética descrita pelas equações de Maxwell, século XIX
Sons musicais	Foram estudados por Aristóteles
A Terra é circular	2000 anos antes de enviarmos uma nave espacial para o espaço que nos fornece fotografias da Terra, Eratóstenes usou a Matemática para provar que a Terra é circular. Calculou o seu diâmetro e a sua curvatura com 99% de exactidão.
Quem vai ganhar nas eleições?	Previsão com base na teoria das probabilidades e estatística
Amanhã vai chover?	Previsão com base no cálculo
Estudo do comportamento do mercado de valores de uma bolsa	É feito pelos analistas de mercado com várias teorias matemáticas.
Qual o valor do seguro de vida a pagar?	As companhias de seguros usam estatística e probabilidades para ajustarem os seus prémios de acordo com a probabilidade de se ter um acidente durante o ano.

você sabe o que são números triangulares?

Os primeiros números triangulares são 1, 3 e 6. Veja por que:

Os números triângulares podem ser calculados através de duas fórmulas: a iterativa e a recursiva:

Fórmula iterativa
T(n) = 1+2+3+...+n

Fórmula recursiva
T(1) = 1
T(n+1) = T(n)+(n+1)

Data histórica: 20/02 de 2002

Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.

Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar. 

Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria.

Aqui vai uma delas... Pegue num lápis e numa folha de papel.



1- Escreva os 3 primeiros algarismos de seu telefone (não vale o indicativo 91, 96, 21 ou 22 ou 26...);

2- Multiplique por 80.

3- Some 1.

4- Multiplique por 250.

5- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.

6- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.

7- Diminua 250.

8- Divida por 2.



Reconhece o resultado???????

Elementos de Pirâmides

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
7. Apótema: É a altura de cada face lateral.
8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
   
   
   
   
   
   
   Joelma Gomes

Adivinhe

Paulo, naquele negócio, ganhou vinte e cinco menos. Quanto ganhou Paulo ?